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오차 방정식
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오차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 계수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은
와 같다. 여기에서 a, b, c, d, e는 각각 x5,x4,x3,x2,x의 계수라고 한다. f는 상수항이라고 부른다.
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오차방정식의 근 [편집]
갈루아와 아벨은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근을 이용하여 오차 이상의 방정식의 근을 표현할 수 없음을 증명하였다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다.[1] 종종 일반인들은 이 결과가 '오차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '오차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 오차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.
실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.
풀 수 있는 오차 방정식 [편집]
모든 오차 방정식을 항상 일반적인 방법으로 근의 공식이 나오도록 유도할 수는 없으나, 경우에 따라서 쉽게 풀 수 있는 오차 방정식도 있다. 가장 좋은 예가 인수분해 되는 경우이다. 예를 들어 x5 − x4 − x + 1 = 0와 같은 오차방정식의 경우 (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)2 = 0와 같이 표현되므로 쉽게 풀 수 있다.
갈루아는 갈루아 이론(Galois theory)을 통해 주어진 방정식이 사칙연산과 거듭제곱근으로 풀 수 있는지를 확인하는 기법을 개발했고, 이러한 기법은 1885년에 처음 적용되었다.[1] 만약 어떤 인수분해가 되지 않는 오차방정식
- x5 + ax + b = 0
이 거듭제곱근을 통해 풀 수 있다는 것과 오차방정식이 다음의 형태로 표현가능하다는 것은 동치이다.
여기서 μ와 ν는 유리수이다. 1994년에 Blair Spearman과 Kenneth S. Williams는 다른 식을 발견하였다.[1]
- 이거 풀면 인정할게
댓글 17
2차 3차 방정식은 중 고등학교 때 흔히 공식을 배우지
5차방정식의 정의와 이론, 공식을 풀라이거지 이거 풀면 너는 타임머신을 만들 수 있을거다 ...
갈루아와 아벨은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근을 이용하여 오차 이상의 방정식의 근을 표현할 수 없음을 증명하였다.는 위의 글 안보이냐?
그리고 오차방정식의 뭐를 구하라는 건지 니가 얘기를 안햇다 ㅋㅋ
오차방정식의 일반적인 해를 사칙연산으로 풀라는건지 근의 공식을 구하라는건지 뭐 ㅄ같은 똥같은글인지 모르것다 쓰레기야
더도 말고 더도말고 다나카 1승시작부터 시즌 끝날 때 까지만 배팅하고 접고 싶다 ㅅㅂ 10만원으로 시작해서 24연승인가 했었지
1.3 배당으로 가정했을 때 10만원으로 시작하면 5400만원이넼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ